როგორ ვიპოვოთ ცვლილების მაქსიმალური სიჩქარე


პასუხი 1:

მიმართულებითი დერივატი იძლევა კონკრეტული მიმართულების ცვლილების სიჩქარეს.

მიმართულებითი წარმოებული, არსებითად, ამ მიმართულებით გრადიენტის კომპონენტია. ასე რომ, ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე \ hat {\ mathbf {n}} მიმართულებით მოცემულია

\ frac {df} {dn} = \ ქუდი {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

ეს შეიძლება დაკავშირებული იყოს ჯაჭვის წესთან, რომელიც არის

\ frac {df} {dn} = \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ partial x} {\ partial n} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {\ ნაწილობრივი y} {\ ნაწილობრივი n}

\ frac {\ partial x} {\ partial n} და \ frac {\ partial y} {\ partial n} შეიძლება გავიგოთ, როგორც მოძრავი n თანხის მოძრაობა \ hat {\ mathbf {n}} მიმართულებით, ეს არის

x = n \ ქუდი {n} _x

y = n \ ქუდი {n} _y

Ისე

\ frac {df} {dn} = \ hat {n} _x \ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ hat {n} _y \ frac {\ partial f} {\ partial y} = \ hat { \ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

ჩვენ დავადგინეთ ნებისმიერი მიმართულებით ცვლილების სიჩქარე მოცემულია

\ ქუდი {\ mathbf {n}} \ cdot \ boldsymbol \ nabla f

ახლა ნებისმიერი ვექტორის კომპონენტი მაქსიმალურია საკუთარი მიმართულებით. ორთოგონალური კოორდინატებისთვის შეგვიძლია მივიღოთ კომპონენტი წერტილოვანი პროდუქტის მიმართულებით. წერტილოვანი პროდუქტი მაქსიმალურია 0 კუთხით.

\ mathbf a \ cdot \ mathbf b = | a || b | \ cos \ theta \; \; \; \; (\ text {მაქსიმალური როდესაც} \ theta = 0)

ასე რომ, გრადიენტის მიმართულებით ცვლილების სიჩქარე არის ცვლილების მაქსიმალური სიჩქარე სხვა მიმართულებებთან შედარებით.

თუნდაც ვივარაუდოთ, რომ გრადიენტი არ არის \ mathbf 0.